Modelowanie i synteza topologiczna konwerterów SC
Identyfikator grantu: PT01142
Kierownik projektu: Marek S. Makowski
Politechnika Gdańska
Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki
Gdańsk
Data otwarcia: 2024-03-18
Streszczenie projektu
Konwertery SC DC to układy zbudowane z kondensatorów i kluczy elektronicznych (ang. Switched Capacitor) sterowanych okresowo wielotaktowym zegarem. Służą - w zamyśle, na poziomie modelowym - do bezstratnego przetwarzania napięć stałych (DC) dla potrzeb zasilania układów elektronicznych.
Wśród ciekawych zagadnień teoretycznych jest bardzo słabo zbadany problem wyznaczania maksymalnego (co do bezwzględnej wartości) wzmocnienia napięciowego konwertera, abstrahując od konkretnej topologii układu SC. Z kolei od strony inżynierskiej mają wartość praktyczną procedury wyznaczanie topologii prowadzącej do realizacji danego wzmocnienia.
W literaturze przedmiotu powszechnie podaje się, że maksymalne wzmocnienie napięciowe związane jest z liczbą kf kondensatorów pompujących (ang. flying, or pumping) poprzez formulę 2kf [1].
Pojawiły się wzmianki w literaturze [2], [3] pokazujące dla wybranych (i małych) liczb kondensatorów możliwość realizacji wzmocnień wykraczających poza tę formułę. Brak doniesień co do możliwości realizacji takich wzmocnień w przypadku ogólnym, dla dowolnej liczby kondensatorów. Problem pozostaje nierozwiązany.
W wyniku badań przeprowadzonych w poprzednim projekcie uzyskano, wychodząc poza doniesienia literaturowe j.w., wzmocnienia dla kilku kolejnych liczb kondensatorów. Wyniki dla większej liczby kondensatorów są obliczeniowym wyzwaniem.
Opis planowanych prac i spodziewanych wyników
Zadania badawcze
1. Wyprowadzić model macierzowy konwertera i na jego podstawie wykazać, dla dowolnej liczby kondensatorów, istnienie wzmocnień wykraczających poza znaną liczbę 2kf.
Komentarz. Dowód twierdzenia o istnieniu, (ang. existence theorem)
2. Określić przedziały wzmocnień maksymalnych dla kolejnych liczb kondensatorów. Zagadnienie wyznaczania maksymalnego wzmocnienia w konwerterze SC sprowadzi się w przyjętej metodzie badawczej do znalezienia maksymalnego wyznacznika macierzy kwadratowej o wymiarze kf x kf i elementach (0,1,2) przy zachowaniu jednostkowej wartości wyznacznika odpowiadającej jej macierzy o elementach (0, +/-1). Zagadnienie to jest pokrewne do klasycznego problemu Hadamarda [4]. Tak postawiony problem obliczeniowy należy do kategorii problemów trudnych, jego rozwiązanie wymaga znacznych zasobów, niezależnie od użytego algorytmu [5].
Komentarz. Metoda modelowania z użyciem specjalnie dobranych typów macierzy obwodowych konwertera, macierzy o różnych konstrukcjach, takich jak: macierze Toeplitza lub Hankela [6], macierze symetryczne i persymetryczne, macierze cyrkulacyjne [7].
Metoda prowadzi do układów równań z mniejszą liczba stopni swobody i łatwiejszych obliczeniowo rozwiązań. Podejście n 2 . {\displaystyle n^{2}.} wystarczające do szacowania zakresu wzmocnień.
3. Podjąć próbę wyznaczenia wzmocnień maksymalnych, zawartych w przedziałach liczbowych wyznaczonych wyżej, dla kolejnych liczb kondensatorów.
Komentarz. Na tym etapie należy spodziewać się, że obserwacje/hipotezy poczynione dla małych liczb kondensatorów mogą nie znaleźć zastosowania ze wzrostem problemu obliczeniowego. Dobrą ilustracją takiej sytuacji i dla tej klasy problemów może być passus zaczerpnięty z [7, p. 10]:
Nevertheless, inspection of small cases suggests the conjecture that the maximum of | detA| occurs at extreme points of the n-dimensional polytope.
We were unable to prove the conjecture, so wrote a program to check it numerically, and
found that, in general, the conjecture is false.
Na końcowym etapie poszukiwań pozostaje więc metoda siłowa (ang. brute force) mająca dużą złożoność obliczeniową. Metoda ta jest praktyczna dla dostatecznie małej liczby kondensatorów i/lub z użyciem superkomputera.
4. Opracować procedurę wyznaczania struktury konwertera (topologii) na podstawie opisującej konwerter macierzy obwodowej.
Komentarz. Problem badawczy w tym zadaniu wynika z braku wzajemnie jednoznacznej relacji pomiędzy macierzą obwodową a schematem konwertera.
Literatura
[1] J. A. Starzyk, Ying-Wei Jan and Fengjing Qiu, "A DC-DC charge pump design based on voltage doublers," in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 48, no. 3, pp. 350-359, March 2001, doi: 10.1109/81.915390.
[2] M. Krstic, S. Eren and P. Jain, "Analysis and Design of Multiphase, Reconfigurable Switched-Capacitor Converters," in IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics.doi: 10.1109/JESTPE.2019.2960016 URL:http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8933399&isnumber=6507303
[3] R. Karadi, "Methodology and Algorithm for Synthesis of Multi-Phase Switched-Capacitor Power Converter Topologies," 2020 IEEE 21st Workshop on Control and Modeling for Power Electronics (COMPEL), Aalborg, Denmark, 2020, pp. 1-8,
doi: 10.1109/COMPEL49091.2020.9265838.
URL:https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=9265838&isnumber=9265640
[4] Brenner, Joel, and Larry Cummings. "The Hadamard maximum determinant problem." The American Mathematical Monthly 79.6 (1972): 626-630.
Judy-Ann Osborn, Hadamard’s Maximal Determinant Problem, www.indiana.edu/~maxdet
[5] Kaltofen, Erich, Villard, Gilles. “On the complexity of computing determinants”. [Research Report] LIP
RR-2003-36, Laboratoire de l’informatique du parallélisme. 2003, 2+35p. hal-02102099
[6] Li, Hsuan-Chu. "On calculating the determinants of Toeplitz matrices." Journal of Applied Mathematics and Bioinformatics 1.1 (2011): 55.
[7] Brent, Richard P., and Adam B. Yedidia. "Computation of maximal determinants of binary circulant matrices." arXiv preprint arXiv:1801.00399 (2018).
[8] Jennifer Seberry; Mieko Yamada, "A: Hadamard Matrices," in Hadamard Matrices: Constructions using Number Theory and Linear Algebra, Wiley, 2020, doi: 10.1002/9781119520252.app1.
Wśród ciekawych zagadnień teoretycznych jest bardzo słabo zbadany problem wyznaczania maksymalnego (co do bezwzględnej wartości) wzmocnienia napięciowego konwertera, abstrahując od konkretnej topologii układu SC. Z kolei od strony inżynierskiej mają wartość praktyczną procedury wyznaczanie topologii prowadzącej do realizacji danego wzmocnienia.
W literaturze przedmiotu powszechnie podaje się, że maksymalne wzmocnienie napięciowe związane jest z liczbą kf kondensatorów pompujących (ang. flying, or pumping) poprzez formulę 2kf [1].
Pojawiły się wzmianki w literaturze [2], [3] pokazujące dla wybranych (i małych) liczb kondensatorów możliwość realizacji wzmocnień wykraczających poza tę formułę. Brak doniesień co do możliwości realizacji takich wzmocnień w przypadku ogólnym, dla dowolnej liczby kondensatorów. Problem pozostaje nierozwiązany.
W wyniku badań przeprowadzonych w poprzednim projekcie uzyskano, wychodząc poza doniesienia literaturowe j.w., wzmocnienia dla kilku kolejnych liczb kondensatorów. Wyniki dla większej liczby kondensatorów są obliczeniowym wyzwaniem.
Opis planowanych prac i spodziewanych wyników
Zadania badawcze
1. Wyprowadzić model macierzowy konwertera i na jego podstawie wykazać, dla dowolnej liczby kondensatorów, istnienie wzmocnień wykraczających poza znaną liczbę 2kf.
Komentarz. Dowód twierdzenia o istnieniu, (ang. existence theorem)
2. Określić przedziały wzmocnień maksymalnych dla kolejnych liczb kondensatorów. Zagadnienie wyznaczania maksymalnego wzmocnienia w konwerterze SC sprowadzi się w przyjętej metodzie badawczej do znalezienia maksymalnego wyznacznika macierzy kwadratowej o wymiarze kf x kf i elementach (0,1,2) przy zachowaniu jednostkowej wartości wyznacznika odpowiadającej jej macierzy o elementach (0, +/-1). Zagadnienie to jest pokrewne do klasycznego problemu Hadamarda [4]. Tak postawiony problem obliczeniowy należy do kategorii problemów trudnych, jego rozwiązanie wymaga znacznych zasobów, niezależnie od użytego algorytmu [5].
Komentarz. Metoda modelowania z użyciem specjalnie dobranych typów macierzy obwodowych konwertera, macierzy o różnych konstrukcjach, takich jak: macierze Toeplitza lub Hankela [6], macierze symetryczne i persymetryczne, macierze cyrkulacyjne [7].
Metoda prowadzi do układów równań z mniejszą liczba stopni swobody i łatwiejszych obliczeniowo rozwiązań. Podejście n 2 . {\displaystyle n^{2}.} wystarczające do szacowania zakresu wzmocnień.
3. Podjąć próbę wyznaczenia wzmocnień maksymalnych, zawartych w przedziałach liczbowych wyznaczonych wyżej, dla kolejnych liczb kondensatorów.
Komentarz. Na tym etapie należy spodziewać się, że obserwacje/hipotezy poczynione dla małych liczb kondensatorów mogą nie znaleźć zastosowania ze wzrostem problemu obliczeniowego. Dobrą ilustracją takiej sytuacji i dla tej klasy problemów może być passus zaczerpnięty z [7, p. 10]:
Nevertheless, inspection of small cases suggests the conjecture that the maximum of | detA| occurs at extreme points of the n-dimensional polytope.
We were unable to prove the conjecture, so wrote a program to check it numerically, and
found that, in general, the conjecture is false.
Na końcowym etapie poszukiwań pozostaje więc metoda siłowa (ang. brute force) mająca dużą złożoność obliczeniową. Metoda ta jest praktyczna dla dostatecznie małej liczby kondensatorów i/lub z użyciem superkomputera.
4. Opracować procedurę wyznaczania struktury konwertera (topologii) na podstawie opisującej konwerter macierzy obwodowej.
Komentarz. Problem badawczy w tym zadaniu wynika z braku wzajemnie jednoznacznej relacji pomiędzy macierzą obwodową a schematem konwertera.
Literatura
[1] J. A. Starzyk, Ying-Wei Jan and Fengjing Qiu, "A DC-DC charge pump design based on voltage doublers," in IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol. 48, no. 3, pp. 350-359, March 2001, doi: 10.1109/81.915390.
[2] M. Krstic, S. Eren and P. Jain, "Analysis and Design of Multiphase, Reconfigurable Switched-Capacitor Converters," in IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics.doi: 10.1109/JESTPE.2019.2960016 URL:http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8933399&isnumber=6507303
[3] R. Karadi, "Methodology and Algorithm for Synthesis of Multi-Phase Switched-Capacitor Power Converter Topologies," 2020 IEEE 21st Workshop on Control and Modeling for Power Electronics (COMPEL), Aalborg, Denmark, 2020, pp. 1-8,
doi: 10.1109/COMPEL49091.2020.9265838.
URL:https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=9265838&isnumber=9265640
[4] Brenner, Joel, and Larry Cummings. "The Hadamard maximum determinant problem." The American Mathematical Monthly 79.6 (1972): 626-630.
Judy-Ann Osborn, Hadamard’s Maximal Determinant Problem, www.indiana.edu/~maxdet
[5] Kaltofen, Erich, Villard, Gilles. “On the complexity of computing determinants”. [Research Report] LIP
RR-2003-36, Laboratoire de l’informatique du parallélisme. 2003, 2+35p. hal-02102099
[6] Li, Hsuan-Chu. "On calculating the determinants of Toeplitz matrices." Journal of Applied Mathematics and Bioinformatics 1.1 (2011): 55.
[7] Brent, Richard P., and Adam B. Yedidia. "Computation of maximal determinants of binary circulant matrices." arXiv preprint arXiv:1801.00399 (2018).
[8] Jennifer Seberry; Mieko Yamada, "A: Hadamard Matrices," in Hadamard Matrices: Constructions using Number Theory and Linear Algebra, Wiley, 2020, doi: 10.1002/9781119520252.app1.